Цель: Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.

1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
3. Способы задания прямой.

1. Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение : Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением , если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример : 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0

Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению , если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение : Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).

2. Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение линии на плоскости

Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках

Где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Пусть заданы две прямые и .

Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.

Так как , то угол между этими прямыми находится по формуле

Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле

Нормальное уравнение окружности:

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. Вершинами эллипса называются точки , , ,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение

Прямые называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.

Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и .

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение параболы

Прямая называется директрисой, а точка – фокусом.

Понятие функциональной зависимости

Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции

3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции

Скачать с Depositfiles

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения

1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат

В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.

Определение. Уравнение линии
– это уравнение с двумя переменными х и у , которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.

Верно и обратное, т.е. любое уравнение у

вида , вообще говоря, в декартовой

системе координат (ДСК) определяет линию

как г.м.т., координаты которых удовлетворяют

этому уравнению. О х

Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения
не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке
.

Для любой точки , лежащей у М

на окружности, в силу определения R

окружности как г.м.т., равноудаленных

от точки , получаем уравнение х

1.2. Параметрические уравнения линий

Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими :

Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.

Исключим параметр t . Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим

Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями

а

Требуется получить уравнение

этой линии в ДСК. — а а

Поступим аналогично, тогда получим

— а

Замечание 2. Следует отметить, что параметром t в механике явля-ется время.

1.3. Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом
и полярным углом – угол между

полярной осью и полярным радиусом.

Положительное направление отсчета

полярного угла от полярной оси

считается против часовой стрелки.

Для всех точек плоскости
, О Р

а для однозначности полярного угла считается
.

Если начало ДСК совместить с

полюсом, а ось Ох направить по

полярной оси, то легко убедиться у

в связи между полярными и

декартовыми координатами:

О х Р

Обратно,

(1)

Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК — Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде

Пример 3. Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.

Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим

Пример 4. Составить уравнение окружности,

если полюс на окружности, а полярная ось у

проходит через диаметр.

Поступим аналогично

О 2 R х

R

Данное уравнение можно получить и

из геометрических представлений (см. рис.).

Пример 5. Построить график линии

Перейдём к ПСК. Уравнение

примет вид
О

График линии построим с а

учётом его симметрии и ОДЗ

функции:

Данная линия называется лемнискатой Бернулли .

1.4. Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но

различные начала координат.

В системе координат Оху точка

относительно системы
О х

имеет координаты
. Тогда имеем

и

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

или
. (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от «старой» системы координат Оху к «новой» системе координат и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует
у О

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f (x ) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t .

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим :

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

K 1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).

В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).

Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или

После преобразований получим

Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .

Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.

Различные виды уравнения прямой:

1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :

y = kx + b ,

где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).

Особые случаи:

– прямая проходит через начало координат (рис.4):

– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:

y=+x, y=-x;

– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):

y=b, y=0;

– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):

x=a, x=0;

2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):

Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.

Пример А(3,-2) :

а) под углом к оси ОХ;

б) параллельно оси OY.

Решение .

а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;

б) х=3.

3) проходящей через две данные точки (рис. 8):

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).

Решение . ,

4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):

где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).

Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):

Откуда a=1,5.

Окончательно получим:

Или y=-2x+3.

5) общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0,

где a и b не равны одновременно нулю.

Некоторые важные характеристики прямых :

1) расстояние d от точки до прямой:

2) угол между прямыми и соответственно:

3) условие параллельности прямых:

или .

4) условие перпендикулярности прямых:

или .

Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.

Решение . Рисунок 11.

1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :

из условия параллельности ;

взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;

т.о. 3x+2y+C=0;

значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),

3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;

уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.

2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;

подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;

уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.

3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:

Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Составить уравнение биссектрисы угла АВС .

Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:

Откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).

По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.

Получаем два уравнения

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.